Trygonometria — sinus, cosinus i tangens od podstaw

Trzy funkcje, jeden trójkąt prostokątny i jedna tablica wartości. Trygonometria wygląda na dział do wkucia, a jest działem do zrozumienia — pod warunkiem że zaczniesz od trójkąta, a nie od tabelki.

Zadzwoń: 500 818 486 Wolę zostawić numer

Odbieramy codziennie 9:00–17:00. Pierwsza konsultacja jest bezpłatna i do niczego nie zobowiązuje.

Wszystko wynika z jednego trójkąta

Sinus, cosinus i tangens to nie są magiczne symbole, tylko nazwy trzech stosunków boków w trójkącie prostokątnym. Dla kąta ostrego α:

sin α = przyprostokątna naprzeciw kąta ÷ przeciwprostokątna;
cos α = przyprostokątna przy kącie ÷ przeciwprostokątna;
tg α = przyprostokątna naprzeciw ÷ przyprostokątna przy kącie.

Z tej definicji wynika od razu, że tg α = sin α / cos α — nie trzeba tego zapamiętywać osobno. Wynika z niej także jedynka trygonometryczna sin²α + cos²α = 1, bo to po prostu twierdzenie Pitagorasa podzielone przez kwadrat przeciwprostokątnej.

Zakres

Co trzeba umieć

1Definicje w trójkącie prostokątnymTrzy stosunki boków i konsekwentne nazywanie boków względem kąta.
2Wartości dla 30°, 45° i 60°Odtwarzane z dwóch trójkątów, a nie wkuwane z tabelki.
3Jedynka trygonometrycznasin²α + cos²α = 1 i obliczanie jednej funkcji, gdy dana jest druga.
4Związek tg α = sin α / cos αOraz przypadek, w którym tangens nie istnieje.
5Zadania z trójkątem prostokątnymDrabina oparta o ścianę, cień, kąt nachylenia — typowe treści maturalne.
6Trygonometria w bryłachKąt między krawędzią a podstawą i między ścianą a podstawą — połączenie ze stereometrią.

Pułapki

Gdzie najczęściej sypią się punkty

Każdy z tych błędów widzieliśmy wielokrotnie. Świadomość, że istnieje, to połowa roboty.

!Mylenie przyprostokątnej „przy kącie" z „naprzeciw"Jeden zamieniony bok i sinus staje się cosinusem. Zawsze zaznaczaj kąt na rysunku przed zapisaniem wzoru.
!Wkuwanie tabelki wartościWartości dla 30°, 45° i 60° odtwarza się z połowy trójkąta równobocznego i z kwadratu przeciętego przekątną. Wkuta tabelka znika przed egzaminem, wyprowadzenie nie.
!Zapominanie, że sinus i cosinus nie przekraczają 1To najprostsza kontrola wyniku. Jeśli wyszło sin α = 1,4, gdzieś jest błąd.
!Liczenie w złym trybie kalkulatoraStopnie kontra radiany. Warto sprawdzić tryb przed pierwszym obliczeniem.
!Rysunek bez oznaczeńTrójkąt bez opisanych boków i kąta to rysunek, z którego nic nie wynika.

Praktyka

Jak to ćwiczyć

Narysuj trójkąt do każdego zadania. Nawet gdy zadanie jest „na wzory". Trygonometria bez rysunku to zgadywanie.
Wyprowadź wartości dla 30° i 60° z trójkąta równobocznego o boku 2, przeciętego wysokością. Zrób to raz porządnie, a potem powtórz z pamięci po tygodniu.
Wartość 45° weź z kwadratu o boku 1 przeciętego przekątną. Dwa rysunki i cała tabelka jest Twoja.
Ćwicz obliczanie pozostałych funkcji, gdy dana jest jedna. To jest najczęstszy typ zadania na maturze podstawowej z tego działu.
Na koniec bryły. Kąt między krawędzią a podstawą to ten sam trójkąt prostokątny, tylko trzeba go najpierw wypatrzeć w rysunku bryły.

Rodzaj zajęć	Cena
Zajęcia indywidualne, szkoła średnia	110 zł za lekcję
Zajęcia indywidualne, matura rozszerzona	120 zł za lekcję
Kurs grupowy — ósmoklasista / matura / rozszerzenie	80 / 90 / 100 zł za zajęcia

Pierwsza konsultacja jest bezpłatna — najpierw sprawdzamy, czy problem jest naprawdę w tym dziale, czy kilka działów wcześniej.

Utknąłeś na tym dziale

Zadzwoń i powiedz, na czym dokładnie. Zwykle po dziesięciu minutach wiadomo, czy wystarczy jedna lekcja, czy potrzeba cofnąć się dalej.

Zadzwoń: 500 818 486

Pytania

Najczęstsze pytania

Czy trzeba znać wartości funkcji trygonometrycznych na pamięć

Nie ma takiej potrzeby, bo są w karcie wzorów. Warto natomiast umieć je szybko odtworzyć z rysunku — to szybsze niż szukanie w karcie i buduje zrozumienie, które przydaje się w zadaniach nietypowych.

Do czego to się przydaje poza egzaminem

Do wszystkiego, co wymaga policzenia wysokości albo odległości bez mierzenia: nachylenia dachu, długości drabiny, kąta wzniesienia. Trygonometria powstała właśnie z takich potrzeb i warto to pokazać uczniowi, bo zmienia nastawienie do działu.

Czy trygonometria na rozszerzeniu to zupełnie inny dział

Rozszerzenie dokłada funkcje dowolnego kąta, wzory redukcyjne, tożsamości i równania trygonometryczne. Fundament jest jednak ten sam — jeśli definicje z trójkąta prostokątnego są opanowane, przejście na rozszerzenie jest naturalne.

Formularz zgłoszeniowy

Zgłoś się na zajęcia

Najszybciej załatwimy to telefonicznie — jedna rozmowa i wiadomo, od czego zacząć. Jeśli wolisz, żeby to my zadzwonili, albo dzwonisz poza godzinami 9:00–17:00 — wypełnij zgłoszenie, a oddzwonimy przy najbliższej okazji.

500 818 486codziennie 9:00–17:00

Zajęcia indywidualne1 na 1, termin ustalany z Tobą Kurs grupowydo 6 osób, stały termin, start w listopadzie

Imię ucznia * Podaj imię, żebyśmy wiedzieli, jak się zwracać.

Telefon * Podaj numer — same cyfry, bez spacji.

E-mail (opcjonalnie)

Czego dotyczy nauka * Zaznacz, czego dotyczy nauka.

Co sprawia największy problem (opcjonalnie)

Zgadzam się na kontakt telefoniczny i mailowy w sprawie zapytania. Dane przetwarza MaxMath Jakub Wiśniewski — szczegóły w polityce prywatności. *

Oddzwaniamy w godzinach 9:00–17:00. Zgłoszenie nie jest zobowiązaniem. Nie wysyłamy newsletterów.